Los primos de Mersenne

La mejor manera de demostrar que existen los unicornios es encontrar uno y presentarlo, pero los matemáticos pueden demostrar la existencia de cosas sin haberlas visto ni saber qué son: funciones con ciertas propiedades, soluciones de ecuaciones enredadas, números de cierto tipo. Las matemáticas están llenas de teoremas de existencia que demuestran la existencia sin necesidad de presentar la evidencia. Por ejemplo, el teorema que dice que hay un número infinito de números primos.

El número 1 es un número hermoso por completo y sólido: no se puede partir, se basta a sí mismo. Otros números, como el 4, el 6, el 9, el 465,962, se pueden partir de una o varias maneras: el cuatro se parte en dos, el seis en dos y en tres, el nueve en tres. Es como si estuvieran hechos de números más sencillos, o como si tuvieran articulaciones: son números compuestos, derivados de otros. En general, cuando uno encuentra cosas compuestas, las puede separar en partes más elementales. El agua en su mínima expresión es una molécula hecha de un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno.Las moléculas de un compuesto químico se pueden partir en átomos de distintos elementos químicos. Los elementos tienen un lugar especial en nuestra estimación por ser las sustancias más simples a partir de las cuales se construye todo lo demás. ¿Habrá números, aparte del 1, que puedan considerarse como los átomos de la numeración?

Sí los hay, y se llaman números primos (por primarios, primigenios, prístinos). Los números primos no se pueden partir, o dividir, en números más sencillos. El 2, por ejemplo. El 2 no está hecho de nada. Sólo se puede dividir entre 1 (lo que no tiene ninguna gracia) y sí mismo (que tampoco es muy interesante). El 3, el 5 y el 7 también son primos. El 9 no, porque se puede obtener de multiplicar 3 x 3. Conforme uno avanza hacia números más grandes buscando primos se da cuenta de que estos números no están distribuidos homogéneamente en la recta numérica. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... parece que los números primos van saltando al azar, sin ton ni son, sin orden ni concierto. Si uno camina por la avenida de los números, se topa con tramos cada vez más largos completamente desiertos de números primos, salpicados por bosquecillos de primos apiñados. En otras palabras, parece que no hay reglas para encontrar números primos. Para saber si un número es primo no queda más remedio que dividirlo entre todos los números posibles y ver si alguno lo divide exactamente (o sea, sin residuo); un método pedestre y aburrido.

Sin embargo, hace más de 2400 años que los matemáticos saben que hay un número infinito de números primos. También saben, aunque ese conocimiento es más reciente, que, para todo número que no sea primo, siempre hay dos o más primos que lo dividen. Por eso los matemáticos dicen a veces que los primos son el esqueleto, o la estructura fundamental, de los números naturales. Qué frustrante que no haya receta para encontrar primos.

En 1644 el matemático francés Marin Mersenne publicó una receta para predecir números primos, con la que encontró un primo muy grande: 2 multiplicado por sí mismo 67 veces, menos 1. Este número es uno de los llamados "primos de Mersenne". Es un número de 21 dígitos. Imposible ponerse a dividirlo entre todos los números menores para ver si se puede partir y comprobar así que, en efecto, sea primo. Pero Mersenne lo había construido con su fórmula y para él era primo y sanseacabó.

Pasaron muchos años.

En 1903, en el congreso de la Sociedad Matemática de Estados Unidos, un individuo llamado Frank Nelson Cole presentó una ponencia titulada "Sobre la factorización de números muy grandes". Cuando le llegó el turno de hablar, Cole no habló. Se puso en pie, se fue hasta el pizarrón y empezó a escribir sin decir ni pío. Escribió 2 elevado a la potencia 67 menos 1, trazó un signo de igual y se puso a escribir cifras: el número de Mersenne, pero ya no en la clave que usan los matemáticos para simplificar, con "potencias" para indicar cuántas veces se ha de multiplicar un número por sí mismo, sino con todas sus 21 cifras en glorioso tecnicolor: 147,573,952,589,676,412,927. Luego fue al otro extremo del pizarón y escribió una multiplicación de dos números gigantescos, uno de nueve dígitos y otro de 12: 193,707,721 x 761,838,257,287. Y se puso a hacer la multiplicación con el viejo método que todos conocemos, cifra por cifra, sin decir ni una palabra. Los circunstantes aguantaban la respiración mientras seguían el cálculo para verificar que no hubiera errores. Al cabo de una hora, durante la cual en la sala sólo se oyó el golpeteo del gis en la pizarra, Cole concluyó su multiplicación. El producto de los dos números era el primo de Mersenne, que por lo tanto no era primo. Hacía tiempo que se sospechaba esto, pero una cosa es intuir que algo existe y otra es verlo ante sus propios ojos, como un unicornio en la sala de conferencias. Cole había encontrado al unicornio.

Se cuenta que ésa fue la primera ocasión en la historia que una asamblea de matemáticos prorrumpió en aplausos al concluir una presentación.

Cole dijo más tarde que encontrar los factores del número de Mersenne le había llevado "tres años de domingos", o 156 domingos. Fue una labor de fuerza bruta, poco característica de la forma de trabajar de los matemáticos, que tienen modos de llegar a conclusiones tremendas de la manera más ingeniosa y frugal. En matemáticas incluso se valora y celebra la elegancia de las demostraciones. Pero aunque la demostración de Frank Nelson Cole no fue elegante, la Sociedad Matemática de Estados Unidos instituyó un premio en su honor.