viernes, 18 de noviembre de 2011

Los primos de Mersenne

La mejor manera de demostrar que existen los unicornios es encontrar uno y presentarlo, pero los matemáticos pueden demostrar la existencia de cosas sin haberlas visto ni saber qué son: funciones con ciertas propiedades, soluciones de ecuaciones enredadas, números de cierto tipo. Las matemáticas están llenas de teoremas de existencia que demuestran la existencia sin necesidad de presentar la evidencia. Por ejemplo, el teorema que dice que hay un número infinito de números primos.

El número 1 es un número hermoso por completo y sólido: no se puede partir, se basta a sí mismo. Otros números, como el 4, el 6, el 9, el 465,962, se pueden partir de una o varias maneras: el cuatro se parte en dos, el seis en dos y en tres, el nueve en tres. Es como si estuvieran hechos de números más sencillos, o como si tuvieran articulaciones: son números compuestos, derivados de otros. En general, cuando uno encuentra cosas compuestas, las puede separar en partes más elementales. El agua en su mínima expresión es una molécula hecha de un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno.Las moléculas de un compuesto químico se pueden partir en átomos de distintos elementos químicos. Los elementos tienen un lugar especial en nuestra estimación por ser las sustancias más simples a partir de las cuales se construye todo lo demás. ¿Habrá números, aparte del 1, que puedan considerarse como los átomos de la numeración?

Sí los hay, y se llaman números primos (por primarios, primigenios, prístinos). Los números primos no se pueden partir, o dividir, en números más sencillos. El 2, por ejemplo. El 2 no está hecho de nada. Sólo se puede dividir entre 1 (lo que no tiene ninguna gracia) y sí mismo (que tampoco es muy interesante). El 3, el 5 y el 7 también son primos. El 9 no, porque se puede obtener de multiplicar 3 x 3. Conforme uno avanza hacia números más grandes buscando primos se da cuenta de que estos números no están distribuidos homogéneamente en la recta numérica. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... parece que los números primos van saltando al azar, sin ton ni son, sin orden ni concierto. Si uno camina por la avenida de los números, se topa con tramos cada vez más largos completamente desiertos de números primos, salpicados por bosquecillos de primos apiñados. En otras palabras, parece que no hay reglas para encontrar números primos. Para saber si un número es primo no queda más remedio que dividirlo entre todos los números posibles y ver si alguno lo divide exactamente (o sea, sin residuo); un método pedestre y aburrido.

Sin embargo, hace más de 2400 años que los matemáticos saben que hay un número infinito de números primos. También saben, aunque ese conocimiento es más reciente, que, para todo número que no sea primo, siempre hay dos o más primos que lo dividen. Por eso los matemáticos dicen a veces que los primos son el esqueleto, o la estructura fundamental, de los números naturales. Qué frustrante que no haya receta para encontrar primos.

En 1644 el matemático francés Marin Mersenne publicó una receta para predecir números primos, con la que encontró un primo muy grande: 2 multiplicado por sí mismo 67 veces, menos 1. Este número es uno de los llamados "primos de Mersenne". Es un número de 21 dígitos. Imposible ponerse a dividirlo entre todos los números menores para ver si se puede partir y comprobar así que, en efecto, sea primo. Pero Mersenne lo había construido con su fórmula y para él era primo y sanseacabó.

Pasaron muchos años.

En 1903, en el congreso de la Sociedad Matemática de Estados Unidos, un individuo llamado Frank Nelson Cole presentó una ponencia titulada "Sobre la factorización de números muy grandes". Cuando le llegó el turno de hablar, Cole no habló. Se puso en pie, se fue hasta el pizarrón y empezó a escribir sin decir ni pío. Escribió 2 elevado a la potencia 67 menos 1, trazó un signo de igual y se puso a escribir cifras: el número de Mersenne, pero ya no en la clave que usan los matemáticos para simplificar, con "potencias" para indicar cuántas veces se ha de multiplicar un número por sí mismo, sino con todas sus 21 cifras en glorioso tecnicolor: 147,573,952,589,676,412,927. Luego fue al otro extremo del pizarón y escribió una multiplicación de dos números gigantescos, uno de nueve dígitos y otro de 12: 193,707,721 x 761,838,257,287. Y se puso a hacer la multiplicación con el viejo método que todos conocemos, cifra por cifra, sin decir ni una palabra. Los circunstantes aguantaban la respiración mientras seguían el cálculo para verificar que no hubiera errores. Al cabo de una hora, durante la cual en la sala sólo se oyó el golpeteo del gis en la pizarra, Cole concluyó su multiplicación. El producto de los dos números era el primo de Mersenne, que por lo tanto no era primo. Hacía tiempo que se sospechaba esto, pero una cosa es intuir que algo existe y otra es verlo ante sus propios ojos, como un unicornio en la sala de conferencias. Cole había encontrado al unicornio.

Se cuenta que ésa fue la primera ocasión en la historia que una asamblea de matemáticos prorrumpió en aplausos al concluir una presentación.

Cole dijo más tarde que encontrar los factores del número de Mersenne le había llevado "tres años de domingos", o 156 domingos. Fue una labor de fuerza bruta, poco característica de la forma de trabajar de los matemáticos, que tienen modos de llegar a conclusiones tremendas de la manera más ingeniosa y frugal. En matemáticas incluso se valora y celebra la elegancia de las demostraciones. Pero aunque la demostración de Frank Nelson Cole no fue elegante, la Sociedad Matemática de Estados Unidos instituyó un premio en su honor.

7 comentarios:

Luis Martin Baltazar Ochoa dijo...

Estimado Sergio, ¡que entrada mas "De Regules" es esta! sin duda tiene tu sello.
Varias cosas a notar:
- los rumbos donde deambulan los matematicos son los mas ajenos que se puede al comun de la gente, es dificil un tema calido si el centro es la matematica
- lograr interes y valor intrinseco en una historia de matematicos, es una rareza, si no es en la serie bizarra de "la teoria del big bang"
- Las verdades sagradas y las vacas sagradas, en matematicas o en otra ciencia, son realmente dificiles de rebatir. A veces hasta pareciera pesar mas un prestigio que los meritos intrinsecos de una teoria
- Perfectamente me imagine dentro de tal sala, con tantos sabios matematicos, pendientes del pizarron como de la pantalla de una pelicula de suspenso
- Me reivindica mucho con la "humanidad" de estos sabios, que se hayan permitido el "exceso" de aplaudir, un bienvenido exabrupto que los acerca mas al comun de la gente
- Las matematicas, como poesia: una idea muy refinada, fragante, fugaz y rara... muy de la manufactura De Regules.
- Soy un nerd en proyecto fallido, jeje, solo me falto ser mas inteligente. Pero, no hay que saber cantar, para disfrutar de una buena aria de opera, verdad?
- EXCELENTE ARTICULO, SERGIO.

Sergio de Régules dijo...

Luis Martín, creo que eres un nerd con toda la barba, nada fallido. Gracias por tus amabilísimas palabras. Decir cosas bonitas de las matemáticas es uno de los retos que más me gusta tomar, por difícil. Luego pondré algún post con mi método para explicar ecuaciones, a ver cómo lo ves...

Luis Martin Baltazar Ochoa dijo...

Órale, al pendiente d ese post y cuento con ello...

Trino Fiesa dijo...

“La distinción entre entidad [contenido] espiritual y la lingüística en que se comunica, es lo más fundamental de una investigación teórica del lenguaje […] ¿Qué comunica el lenguaje? Comunica su correspondiente entidad o naturaleza espiritual. Es fundamental entender que dicha entidad espiritual se comunica en el lenguaje y no por medio del lenguaje […] cada lenguaje se comunica a sí mismo” [Benjamin, W. Para una crítica de la violencia y otros ensayos: Iluminaciones IV. Trad. Roberto Blatt. Ed. Taurus. 1998. Págs. 60-61].

Todo evento o cosa no puede tener un concepto absoluto y es debido a algo necesario para intentar adquirir la compresión absoluta del concepto: la comunicación. Ya que “se comunica en el lenguaje y no por medio del lenguaje”, las entidades lingüísticas, que son las únicas que disponemos para describir nuestro universo, sólo pueden ser comunicadas en el lenguaje mismo, es decir, describen al universo desde el universo mismo.

Al parecer las matemáticas, perciben al universo desde fuera, sus entidades lingüísticas no pertenecen a los eventos o cosas “de la naturaleza viva como en la inanimada”, las entidades matemáticas se desprenden de la forma física, tienden a la desvinculación del mundo físico para conseguir verdades. Pero la matemática, como cualquier disciplina creada por el sujeto, está contenida en el mundo físico, porque, aunque las entidades matemáticas nazcan de la idea misma (entidad por excelencia de la mente):

"Una manifestación del ser completamente desvinculada del lenguaje es una idea, pero tal idea no llega a fructificar ni en el dominio de las ideas cuyo contorno designa la idea de Dios” [Benjamin, W. Para una crítica de la violencia y otros ensayos: Iluminaciones IV. Trad. Roberto Blatt. Ed. Taurus. 1998. Págs. 59-60].


Fragmento de Un ensayo integralista. TF.

JorgeLaris dijo...

Muy buena historia. Por mi parte imagino que hay alguna forma de calcular el decrecimiento de estos números mientras más se alejan del valor de la unidad. Es una suposición, y de ser acertada supongo que alguien ya la descubrió. Un saludo

Anónimo dijo...

S. G. Me gusta tu blog, aunque las matemáticas no, siempre he sido un idiota para ellas, no las entiendo ni con palitos y bolitas. En fin, interesante entrada.

Ya somos dos Luis Martín, ambos nos faltó más inteligencia para lo mismo.

Luis Martin Baltazar Ochoa dijo...

Estimado Sergio: en uno de tus anteriores insertos, te hice un comentario (sin relacion en el tema, la verdad) de un inquietante descubrimiento (al menos asi lo parece hasta ahora): se observo en el CERN particulas subatomicas viajando A MAYOR VELOCIDAD QUE LA LUZ. Eso es increible pues es tal vez la constante mas solida en fisica. Un pilar inconmovible.
HOY escuché que un segundo laboratorio intentó y al parecer logro con exito medir de nuevo a esa particula (el neutrino) y de nuevo da una velocidad mayor a la luz...
1. ¿Habra llegado la hora de poner a einstein en la segunda fila, a raiz de esto, asi como paso Newton cuando einstein dijo lo que dijo?
2. Si viajar al 99.99% de la velocidad de la luz retarda el tiempo... ¿viajar a la velocidad de la luz lo detiene y (ah que locura sería) viajar a mayor velocidad regresa en el tiempo?
3. ¿Los neutrinos viajan al pasado?
Yo no se, pero ya estoy en espera de un proximo post donde nos digas de todo esto. Jeje, la cosa es pedir, verdad?
Saludos.